Excel解多元一次方程組的幾種辦法

本文列出了在Excel中解多元一次方程組的三種方法：矩陣解法、用克萊姆法則和用規劃求解的方法，供參考。單擊右側鏈接打開示例文件下載頁面：示例文件。

??? 方法一：矩陣解法

??? 原理：對于由n個未知數，n個方程組成的多元一次方程組：

???

??? 寫成矩陣形式為Ax=b，其中A為系數n*n方陣，x為n個變量構成列向量，b為n個常數項構成列向量。當它的系數矩陣可逆，或者說對應的行列式|A|不等于0的時候，由Ax=b可得：x=b*A^(-1) ，A^(-1)為A的逆矩陣。

??? ?利用Excel提供的MDETERM、MINVERSE和MMULT等函數即可求解多元一次方程組。MDETERM函數返回一個數組的矩陣行列式的值，可用其判斷矩陣是否可逆；MINVERSE函數返回矩陣的逆矩陣；MMULT函數返回兩個數組的矩陣乘積。有關MMULT函數的用法可參考《用公式進行多條件求和》一文中的方法三。

??? 示例及步驟：

??? 假如在Excel的A2:N5區域中以下圖方法輸入了一個四元一次方程組。

???

??? 在P2:S5區域用公式得到其系數矩陣，T2:T5的返回值為常數項向量。如P2單元格中的公式為：

??? =OFFSET($B$1,ROW(A1),COLUMN(A1)*3-3)*IF(OFFSET($A$1,ROW(A1),COLUMN(A1)*3-3)="-",-1,1)

?????

??? 由于“=MDETERM(P2:S5)”的值不等于“0”，可知系數矩陣可逆。選擇某列中的四個連續單元格，如Q11:Q14，輸入數組公式：

??? =MMULT(MINVERSE(P2:S5),T2:T5)

??? 公式輸入完畢按Ctrl+Shift+Enter結束，即可在Q11:Q14得到方程組的解。

??? 方法二：用克萊姆法則

??? 原理：參考克萊姆法則。

??? 示例及步驟：

??? 對于上述四元一次方程組，復制P2:S5區域，將其粘貼到其他區域，如本例有4個未知數，用“選擇性粘貼——粘貼鏈接”的方法將其粘貼到4個不同的區域。然后復制T2:T5常數項的列向量，用“選擇性粘貼——粘貼鏈接”的方法分別將其粘貼到上述四個區域中的各列，依次得到矩陣A1、A2、A3、A4，再用MDETERM函數計算各矩陣行列式的值，分別除以系數矩陣A的行列式的值，即可得到方程組的解。

???

??? 方法三：用規劃求解

??? 原理：規劃求解是Excel中的一種加載項，是一種模擬分析工具，它通過調整可變單元格的值來查找滿足所設定條件的最優值。

??? 示例及步驟：

??? 以上述四元一次方程組為例，在Excel 2013中的操作步驟如下。

??? 1.加載“規劃求解加載項”。如果已加載該加載項可忽略次步。依次單擊“文件→選項→加載項”，在對話框的底部“管理”的右側單擊“轉到”按鈕，彈出“加載宏”對話框，勾選“規劃求解加載項”后確定。Excel會在“數據”選項卡中添加“分析”組及“規劃求解”按鈕。

??? 2.設置公式，本例以Q8:Q11為可變單元格，規劃求解的結果將在該區域產生。在S8:S11區域設置公式，即以Q8:Q11為未知數代入方程左側。如S8中的公式：

??? =P2*$Q$8+Q2*$Q$9+R2*$Q$10+S2*$Q$11

???

??? 3.設置“規劃求解”參數。在“數據”選項卡的“分析”組中單擊“規劃求解”按鈕，彈出“規劃求解參數”對話框，進行如下設置：

??? ①設置“通過更改可變單元格”為Q8:Q11；

??? ②在“遵循約束”下添加約束條件。單擊“添加”按鈕，彈出“添加約束”對話框，將“單元格引用”設置為S8單元格，將“約束”設置為T2單元格后確定，這樣就添加了一個約束：S8=T2。

???

??? 用同樣的方法添加其他幾個約束：S9=T3、S10=T4和S11=T5；

??? ③取消勾選“使無約束變量為負數”選項。

??? ④選擇求解方法為“單純線性規劃”。

???

??? 4.單擊“求解”按鈕，Excel將進行求解。本例很快彈出下面的“規劃求解結果”對話框。

???

??? 單擊“確定”即可在Q8:Q11得到方程的解。